中值定理

本文介绍中值定理。

Fermat 定理

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取到局部极值，且存在 \(\varepsilon >0\) 使得 \(f(x)\) 在 \((x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )\) 处有定义，且 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0)=0\)。

证明

不妨设 \(x_0\) 是局部极小值，取 \(h\rightarrow0^+\) 根据导数定义，有 \(f_-'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\le0\)，\(f_+'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge0\)，由于 \(f'(x_0)\) 存在，有 \(f_+'(x_0)=f_-'(x_0)\)，只能是 \(0\)，故 \(f'(x_0)=0\)。

局部极大值同理，略。

Rolle 定理

如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a)=f(b)\)，求证：存在 \(s\in(a,b)\) 使得 \(f'(s)=0\)。

证明

如果存在 \(f(x)>f(a)\)，设函数最大值为 \(f(d)\)，显然 \(d\) 是极大值点，\(f'(d)=0\)。
如果存在 \(f(x)\lt f(a)\)，设函数最小值为 \(f(d)\)，显然 \(d\) 是极小值点，\(f'(d)=0\)。
否则，\(f(x)=f(a)\) 恒成立，在任意一点 \(f'(x)=0\)。
故命题成立。

Lagrange 中值定理

如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，求证：存在 \(s\in(a,b)\) 使得 \(f'(s)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证明

令 \(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)，则 \(g(a)=g(b)\)，由 Rolle 定理知存在 \(g'(s)=0\)，则 \(f'(s)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

Cauchy 中值定理

若 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，且 \(g'(x)\ne0\)，求证：存在 \(s\in(a,b)\) 使得 \(\frac{f'(s)}{g'(s)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。

证明

我们发现这就是 Lagrange 定理一般化的情形，可以仿照 Lagrange 定理的证明。
令 \(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]\)，则 \(g(a)=g(b)\)，由 Rolle 定理知存在 \(g'(s)=0\)，则 \(\frac{f'(s)}{g'(s)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。