常用等价小量

引理：\(0\lt x\lt \frac\pi 2\) 时，\(\sin x\lt x\lt \tan x\)。

证明

等价于 \(BC>\stackrel\frown{AC}>AB\)，同时乘以 \(0.5\)，等价于 \(S_{\bigtriangleup OAC}\lt S_{\text{扇形} OAC}\lt S_{\bigtriangleup OBC}\)，显然。

\[ \lim_{x\rightarrow0}\cos x=1 \]

证明

注意到 \(0\lt 1-\cos x=2\sin^2\frac x2\lt\frac{x^2}2\)，根据极限定义即得。

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin x}x=1 \]

证明

考虑 \(x>0\) 情形，由引理，\(\sin x\lt x\lt\tan x\)，因此 \(1\lt \frac{\sin x}{x}\lt \frac1{\cos x}\)，而 \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac1{\cos x}=1\)，故 \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin x}x=1\)。 由于 \(x\) 和 \(\sin x\) 都是奇函数，\(x<0\) 情形同理。

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {\tan x}x=1 \]

证明

把上一个式子乘一个 \(\frac1{\cos x}\) 即可。

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {\ln(x+1)}x=1 \]

证明

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac {\ln(x+1)}x=\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x+1)^{\frac1x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(1+\frac1x)^{x}=\ln e=1 \]

由上可得 \(x\rightarrow 0\) 时 \(x,\sin x,\tan x,\ln(x+1)\) 是等价小量。