换元积分法

所谓换元积分法，就是换元求解原函数再代回去的方法。
以下最终答案均省略 \(+C\)。

例 1：求解 \(\int \tan x\mathrm dx\)。

解

\[ \int \tan x\mathrm dx=\int \frac{\sin x\mathrm dx}{\cos x}=\frac{\mathrm d(-\cos x)}{\cos x} \]

令 \(t=-\cos x\)，则：

\[ \int \tan x\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d(-\cos x)}{\cos x}=-\int\frac1{t}\mathrm dt=-\ln|t|=-\ln|\cos x| \]

例 2：求解 \(\int \large\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}\normalsize\mathrm dx\)。

解

令 \(t=\ln x\)，\(h=\sqrt{1+t}\)。

\[ \int \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}\mathrm dx=\int \frac{t}{e^t\sqrt{1+t}}\mathrm de^t=\int \frac{t}{e^t\sqrt{1+t}}e^t\mathrm dt=\int\frac{t}{\sqrt{1+t}}\mathrm dt=\int\frac{h^2-1}h\mathrm d(h^2-1) \]

\[ =\int(2h^2-2)\mathrm dh=\frac23h^3-2h=\frac23(1+\ln x)^{3/2}-2\sqrt{1+\ln x} \]

例 3：求解 \(\int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\mathrm dx\)。

解

令 \(t=\large\frac{\ln x}{x}\)，则 \(\large\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{1-\ln x}{x^2}\)，有：

\[ \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\mathrm dx=\int\frac{1-\ln x}{x^2}\frac1{(1-\frac{\ln x}x)^2}\mathrm dx=\int\frac1{(1-t)^2}\mathrm dt=-\frac1{1-t}=\frac x{x-\ln x} \]

例 4：计算 $\int\frac{x^{1/7}+x^{1/2}}{x^{1/14}+x^{8/7}}\mathrm dx $。

解

令 \(t=x^{1/14}\)。
则原式变形后为 \(14\int\frac{t^{14}}{t^{10}-t^5+1}\mathrm dt\)。
再令 \(w=t^5\)，有 \(\mathrm dw=5t^4\mathrm dt\)。
变形得 \(\frac{14}5\int\frac{w^2}{w^2-w+1}\mathrm dw\)。