单调性、凸性与曲率

单调性

如果可导函数 \(f(x)\) 满足：对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(k>0\)，使得 \(x\in(x_0-k,x_0)\) 时 \(f'(x)>0\)，\(x\in(x_0,x_0+k)\) 时 \(f'(x)\lt0\)，则 \(x_0\) 为极大值点。极小值点也有类似性质。
导数为 \(0\) 的点是驻点，未必是极值点。一种判断方法是：连续求导直至导数不为 \(0\)，这个过程中如果求了奇数次导则不为极值点，求了偶数次则为极值点。

凸性

定义就是 Jensen 不等式。
有如下定理成立： - 如果函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 上可微，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上是凸函数，当且仅当其导数在 \(I\) 上单调。 - 如果函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有二阶导，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上是凸函数，当且仅当二阶导在 \(I\) 上不变号。

曲率

计算公式：\(\kappa(x)=\Large\frac{f''(x)}{(1+f'^2(x))^{3/2}}\)。
曲率半径是曲率的倒数。