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映射与函数的定义

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个非空集合，\(f\) 描述了一种从 \(A\) 到 \(B\) 的对应关系，使得对于 \(A\) 中任意一个元素，在 \(B\) 中有唯一确定的一个元素与之对应，则称 \(f\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(f:A\rightarrow B\) 是函数。
高中阶段，\(A\) 和 \(B\) 都是 \(\mathbb R\) 的子集。

函数 \(f:A\rightarrow B\) 的定义域是 \(A\)，即为初中所说的“自变量的取值范围”。
函数的值域是 \(\{d\,|\,\exist\, x\in A,f(x)=d\}\)，即为初中所说的“因变量的取值范围”,是 \(B\) 的子集。

称 \(f\) 为单射，当且仅当对任意 \(x,y\in A\) 且 \(x\neq y\)，有 \(f(x)\neq f(y)\)。
称 \(f\) 为满射，当且仅当对任意 \(x\in B\) 存在 \(y\in A\)，有 \(f(y)=x\)。
称 \(f\) 为双射，当且仅当 \(f\) 既为单射又为满射。

双射描述的对应关系是一一对应关系，有如下推论：
如果 \(A,B\) 为有限集，且存在由 \(A\) 到 \(B\) 的双射，则 \(\mathrm{card}(A)=\mathrm{card}(B)\)。

函数的基本性质

奇偶性

称 \(f(x)\) 为奇函数，当且仅当以下 \(2\) 条都成立： - 定义域关于 \(0\) 对称。 - 对任意定义域内的数 \(x\)，有 \(f(-x)=-f(x)\)。

称 \(f(x)\) 为偶函数，当且仅当以下 \(2\) 条都成立： - 定义域关于 \(0\) 对称。 - 对任意定义域内的数 \(x\)，有 \(f(-x)=f(x)\)。

举例说明

\(f(x)=x^2\) 为偶函数，因为定义域 \(\mathbb R\) 关于 \(0\) 对称，且 \(\forall x\in\mathbb R,\,f(-x)=f(x)\)。
\(f(x)=x^3\) 为奇函数，因为定义域 \(\mathbb R\) 关于 \(0\) 对称，且 \(\forall x\in\mathbb R,\,f(-x)=-f(x)\)。
\(f(x)=\frac1{x-1}\) 是非奇非偶函数，因为定义域 \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\) 关于 \(0\) 不对称。

单调性

称 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内单调递增，当且仅当 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有定义，且对任意 \(u,v\in(a,b),u\lt v\)，有 \(f(u)\lt f(v)\)。称 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内单调递减，当且仅当 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有定义，且对任意 \(u,v\in(a,b),u\lt v\)，有 \(f(u)> f(v)\)。

周期性

如果存在 \(T\)，使得对 \(f(x)\) 定义域内任意 \(u\)，\(f(u+T)\) 有定义且等于 \(f(u)\)，那么称 \(T\) 为 \(f(x)\) 的周期。
对于不是常函数的周期函数，定义最小正周期为所有正周期中最小的那个。

连续性

这个不是很重要吧。
所有初等函数在其定义区间上都是连续的，所以高中阶段要求导的函数基本都在定义域上连续。
但要小心分段函数，分段函数不是初等函数。

零点定理：f(x) 在 \([u,v]\) 上连续，且 \(f(u)f(v)\le0\)，则 \(f(x)=0\) 在 \([u,v]\) 上有根。

对称性

分为轴对称和中心对称。

称 \(f(x)\) 关于 \((a,b)\) 中心对称，当且仅当以下 \(2\) 条都成立： - 定义域关于 \(a\) 对称。 - 对任意 \(x\)，若 \(f(a-x)\) 存在，则 \(f(a-x)+f(a+x)=2b\)。

称 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 轴对称，当且仅当以下 \(2\) 条都成立： - 定义域关于 \(a\) 对称。 - 对任意 \(x\)，若 \(f(a-x)\) 存在，则 \(f(a-x)=f(a+x)\)。

显然奇函数关于 \((0,0)\) 对称，偶函数关于直线 \(x=0\) 对称。

如果 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \(x=b\) 对称，则 \(T=2(b-a)\) 是 \(f(x)\) 的周期。
如果 \(f(x)\) 关于 \(x=a\) 和 \((b,0)\) 对称，则 \(T=4(b-a)\) 是 \(f(x)\) 的周期。
如果 \(f(x)\) 关于 \((a,0)\) 和 \((b,0)\) 对称，则 \(T=2(b-a)\) 是 \(f(x)\) 的周期。

读者自证不难。