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常函数

最简单的一类函数，\(f(x)=C\)。

指数函数

形如 \(f(x)=u^x\) 的函数是指数函数（\(u>0,u\ne 1\)）。
定义域：\(\mathbb R\)。
值域：\((0,+\infty)\)。
单调性：\(u\in(0,1)\) 时在 \(\mathbb R\) 上单调减，\(u>1\) 时在 \(\mathbb R\) 上单调增。
恒过定点 \((0,1)\)。

对数函数

什么是对数

我们都学过指数，对数就是指数的逆运算。
具体地，如果 \(a>0\) 且 \(a\neq1\)，\(b>0\)，必然存在 \(c\) 使得 \(a^c=b\)，我们把这个 \(c\) 记作 \(\log_ab\)。
特别的，如果底数是 \(e\)，叫做自然对数，记作 \(\ln\)；如果底数是 \(10\)，叫做常用对数，记作 \(\lg\)。
对数有以下基础运算法则：

• \(\log_ab+\log_ac=\log_abc\)。
• \(k\log_ab=\log_ab^k\)。
• \(\log_ab\log_bc=\log_ac\)。
• \(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)。

\(e\) 是什么？参见大学数学 - 数学分析 B1 - 极限。

形如 \(f(x)=\log_a x\)（\(a>0\)，且 \(a\neq 1\)）的函数是对数函数。
定义域：\((0,+\infty)\)。
值域：\(\mathbb R\)。
单调性：\(a\in(0,1)\) 时在 \((0,+\infty)\) 上单调减，\(a>1\) 时在 \((0,+\infty)\) 上单调增。
恒过定点 \((1,0)\)。

幂函数

形如 \(f(x)=x^\alpha\)（\(\alpha\) 为常数）的函数是幂函数。
定义域：随 \(\alpha\) 的取值而变化（例如 \(\alpha\) 为正整数时定义域为 \(\mathbb R\)；\(\alpha\) 为负整数时定义域为 \(\{x\mid x\neq 0\}\)；\(\alpha\) 为分数时，若分母为偶数则需 \(x\ge 0\) 等）。
在区间 \((0,+\infty)\) 上，\(\alpha>0\) 时单调增，\(\alpha<0\) 时单调减。
恒过定点 \((1,1)\)。

对勾函数

形如 \(f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的函数。
定义域：\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。
值域：\((-\infty,-2\sqrt{ab}\,]\cup[\,2\sqrt{ab},+\infty)\)（可以用基本不等式证明）。
单调性：这个，完全可以考场上拿基本不等式推。 奇偶性：奇函数。
渐近线：\(y\) 轴与直线 \(y=ax\)。

飘带函数

形如 \(f(x)=ax-\dfrac{b}{x}\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的函数。
定义域：\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。
值域：\(\mathbb R\)。
单调性：在 \((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\) 上分别单调递增。
奇偶性：奇函数。
渐近线：\(y\) 轴与直线 \(y=ax\)。

各类函数图像

相信聪明的你能看出分别是哪一类函数的图像！