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导数的定义
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有定义，如果当 \(\Delta x\rightarrow0\) 时，\(\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) 存在且确定，则称它是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数，记作：
$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
这个 \(f'(x)\) 称作 \(f(x)\) 的导函数。
\(f'(x_0)\) 刻画了 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的函数值变化率，也刻画了 \(f(x)\) 在点 \((x_0,f(x_0))\) 处的切线斜率。
所以有时我们用 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 表示导数，\(\mathrm d\) 代表瞬时变化量。
导数的求法
导数运算法则
四则运算
$ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) $
$ [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x) $
$ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $
$\Large [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} $
复合函数求导
$$ [f(g(x))]'=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta f(g(x))}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta f(g(x))}{\Delta g(x)}\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}=f'(g(x))g(x) $$ 这叫做链式法则。
反函数求导
设 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 互为反函数，已知 \(f'(x)\)，如何求解 \(g'(x)\)？
假设 \(g(x)=y\)，则有 \(f(y)=x\)，由于 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的图像关于直线 \(y=x\) 对称，则对称点处切线斜率应当互为倒数，所以 \(g'(x)f'(y)=1\)，故 \(g'(x)\large=\frac1{f'(y)}=\frac1{f'(g(x))}\)。
放一个图帮助理解。
可以看出，这两条橙色的切线斜率互为倒数。
部分基本初等函数的导数
先从定义出发。
例 1：\(f(x)=c\)，\(c\) 是一个常数，求 \(f'(x)\)。
解法
例 2：\(f(x)=x^n\)，\(n\in \mathbb N_+\)，求 \(f'(x)\)。
解法
由二项式定理，得：
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\mathrm C_n^1 x^{n-1}\Delta x+\mathrm C_n^2 x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots+\mathrm C_n^n (\Delta x)^n}{\Delta x} $$
$$ =nx^{n-1}+\lim_{\Delta x\rightarrow0}[\mathrm C_n^2 x^{n-2}(\Delta x)+\cdots+\mathrm C_n^n (\Delta x)^{n-1}]=nx^{n-1} $$
例 3：\(f(x)=\sin x\)，求 \(f'(x)\)。
解法
考虑和差化积。
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cos(x+\frac12\Delta x)\sin\frac{\Delta x}2}{\Delta x} $$
根据 \(\cos x\) 的连续性，\(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\cos(x+\frac12\Delta x)=\cos x\)，而根据 \(\large\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\) 在 \(\Delta x\rightarrow0\) 时趋近 \(1\)（证明见大学数学 - 数学分析 B1 - 常用等价小量），有：
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cos(x+\frac12\Delta x)\sin\frac{\Delta x}2}{\Delta x}=2\cos x\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta x}2}{\Delta x}=\cos x\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta x}2}{\frac{\Delta x}2}=\cos x $$
例 4：\(f(x)=\cos x\)，求 \(f'(x)\)。
解法
仿照上例即可，答案为 \(-\sin x\)，证明留给读者。
例 5：\(f(x)=\ln x\)，求 \(f'(x)\)。
解法
根据 \(\large\frac{\ln (1+\Delta x)}{\Delta x}\) 在 \(\Delta x\rightarrow0\) 时趋近 \(1\)（证明见大学数学 - 数学分析 B1 - 常用等价小量），有：
$$ f'(x)=\frac1x\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}x)}{\frac{\Delta x}x}=\frac1x $$
例 6：\(f(x)=e^x\)，求 \(f'(x)\)。
解法
令 \(g(x)=\ln x\) 是 \(f(x)\) 的反函数，则： $$ f'(x)=\frac1{g'(f(x))}=\frac1{\frac1{f(x)}}=f(x)=e^x $$
例 7：\(f(x)=x^k\)，\(k\in R\)，\(k\ne0\)，\(f(x)\) 定义域为 \((0,+\infty)\)，求 \(f'(x)\)。
解法
先变形：\(f(x)=x^k=e^{k\ln x}\)，这是复合函数，令 \(g(x)=k\ln x\)，\(h(x)=e^x\)，则 \(f(x)=h(g(x))\)，故有： $$ f'(x)=g'(x)h'(g(x))=\frac kx\cdot e^{k\ln x}=\frac kx\cdot x^k=kx^{k-1} $$
例 8：\(f(x)=\tan x\)，求 \(f'(x)\)。
解法
导数与单调性的关系
如果函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，那么 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调递增充要条件是以下 \(2\) 条限制同时满足：
- \(x\in(a,b)\) 时 \(f'(x)\ge0\) 恒成立。
- 不存在区间 \((u,v)\subseteq(a,b)\) 使得在 \((u,v)\) 上恒有 \(f'(x)=0\)。
如果函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，那么 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上单调递增充要条件是以下 \(2\) 条限制同时满足：
- \(x\in(a,b)\) 时 \(f'(x)\ge0\) 恒成立。
- 不存在区间 \((u,v)\subseteq(a,b)\) 使得在 \((u,v)\) 上恒有 \(f'(x)=0\)。
如果函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，那么 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调递减充要条件是以下 \(2\) 条限制同时满足：
- \(x\in(a,b)\) 时 \(f'(x)\le0\) 恒成立。
- 不存在区间 \((u,v)\subseteq(a,b)\) 使得在 \((u,v)\) 上恒有 \(f'(x)=0\)。
如果函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，那么 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上单调递减充要条件是以下 \(2\) 条限制同时满足：
- \(x\in(a,b)\) 时 \(f'(x)\le0\) 恒成立。
- 不存在区间 \((u,v)\subseteq(a,b)\) 使得在 \((u,v)\) 上恒有 \(f'(x)=0\)。
如果 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的一个极值点，且 \(f'(x_0)\) 存在，必有 \(f'(x_0)=0\)（证明见大学数学 - 数学分析 B1 - 微分学 - 中值定理 的 Fermat 定理证明）。
但是，反过来是不成立的！比如说 \(f(x)=x^3\)，在 \(x=0\) 处导数为零，却不是极值点。