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切割线放缩
常见切线放缩
证明
令 \(f(x)=e^x-x-1\)，求导得 \(f'(x)=e^x-1\)，发现 \(x=0\) 为唯一极小值点，故 \(f(x)_{\min}=f(0)=0\)，因此 \(e^x-x-1\ge0\)，有 \(e^x\ge x+1\)。
衍生结论（请读者自证）
\(e^x\ge ex\)。
\(e^x\le\frac1{1-x}\)，其中 \(x<1\)。
\(e^x\ge 1+x+\frac12x^2\)。
……
证明
根据上面的结论，\(e^{\ln x}\ge \ln x+1\)，即 \(\ln x\le x-1\)。
衍生结论（请读者自证）
\(\ln x\ge 1-\frac1x\)。
\(\frac1{x+1}\lt \ln(x+1)-\ln x\lt\frac1x\)。
割线放缩
拿个题来说吧：如果 \(a+b=1\)，\(a\ge0\)，\(b\ge 0\)，求证：\(3^a+3^b\le4\)。
证明
发现 \((0,1)\) 和 \((1,3)\) 是 \(y=3^x\) 图像上两点，故 \(y=2x+1\) 为割线，我们尝试证明：\(f(x)=2x+1-3^x\) 在 \(x\in[0,1]\) 时小于等于零。
\(f'(x)=2-3^x\ln 3\)，存在一点 \(x_0\)，函数在 \((0,x_0)\) 上递减，在 \((x_0,1)\) 上递增，故 \(f(x)_{\max}=\max\{f(0),f(1)\}=0\)，得证。
因此，\(3^a+3^b\le 2a+1+2b+1=2+2(a+b)=4\)。
如果题目中含有三角函数，且答案的分母带有 \(\pi\)，很可能是割线放缩。
极值点偏移
有个结论（ALG 不等式）：\(\sqrt{ab}\lt\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\lt\frac{b-a}2\)（考场上需证明），在有的题上有奇效。
例题：\(f(x)=xe^{-x}\)，求证：对于 \(k>0\)，\(f(1+k)>f(1-k)\)。
证明 1
设 \(g(x)=f(1+x)-f(1-x)=(1+x)e^{-1-x}+(x-1)e^{x-1}\)，\(g'(x)=-xe^{-x-1}+xe^{x-1}=\frac1ex(e^x-e^{-x})\ge0\)，仅当 \(x=0\) 取等。 那么 \(x>0\) 时有 \(g(x)>g(0)=0\)，因此对于 \(k>0\)，\(f(1+k)>f(1-k)\)。
证明 2
首先，\(k\ge1\) 显然成立，下面只考虑 \(k\lt1\) 的情形。
即证 \((1+k)e^{-1-k}>(1-k)e^{-1+k}\)，即 \(\frac{1+k}{1-k}>e^{2k}\)，即 \(2k\lt\ln(1+k)-\ln(1-k)\)，即 \(\frac{(1+k)-(1-k)}{\ln(1+k)-\ln(1-k)}\lt\frac{(1+k)+(1-k)}2\)，由 ALG 不等式知成立。
隐零点
例题：\(f(x)=e^x-a\ln x-a\)，求 \(a\) 的取值范围，使得 \(f(x)\ge0\) 恒成立。